Aplikace abstraktní matematiky

Vít Tuček vystudoval na matematicko fyzikální katedře Karlovy univerzity a v současné době zde pokračuje v doktorském studiu. V minulém týdnu zavítal na filozofickou fakultu, aby nám připomněl, že matematika a filozofie k sobě mají pořád blízko, tak jako na počátku lidského vědění, kdy se většina filozofů také ponořovala do světa čísel. Jak sám Vít říká, matematika v porovnání s historii je nyní nejvíce popularizovaná, ale pořád je to málo. Proto se rozhodl nám prezentovat jak je moderní abstraktní matematika spojená s hmatatelnými aplikacemi a ukázat nám, proč je dobré mít o ní alespoň základní povědomí.

Záznam live bloggingu najdete jako obvykle v Blogu z bloku.

Prezentaci Petry Havlíkové najdete na Slideshare KISKu.

Kde všude se matematika aplikuje? Matematika postupně prostoupila všemi obory a proto by snad  bylo snazší se zeptat, kde se matematika nevyužívá. Ale Tuček uvedl několik zajímavých příkladů.

 

Zbytkové třídy

Když si vymyslíme nějaké číslo, tak si snadno dovedeme představit číslo o něco větší. Třeba o jedničku.

 

Když nás napadne číslo 1, tak o jedno větší je 2.

20 -> 21

654 -> 655

1 000 000 000 -> 1 000 000 001

 

Jde to snadno, protože jsme zvyklí uvažovat, že celých čísel je nekonečně mnoho. Co když bychom ale čísel měli jenom několik a přesto s nimi chtěli počítat. V matematice je na to nástroj, kterému se říká zbytková třída. Představme si, že máme čísel jen pět: 0, 1, 2, 3, 4. A to je všechno. Abychom s těmito čísly vystačili, představme si je v kruhu.

 

1 + 1 = 2

2 + 2 = 4

4 + 1 = 0

4 + 2 = 1

 

můžeme i násobit

 

1 * 1 = 1

2 * 2 = 4

2 * 3 = 1

 

Nejklasičtější příklad zbytkové třídy je ciferník hodin. Kde je v kruhu 12 čísel. V 10 hodin všichni víme, že za 4 hodiny budou na ciferníku 2.

 Vít Tuček

K čemu jsou takové zbytkové třídy dobré, jak se dají aplikovat? Tak například pánové Rivest, Shami a Aldeman v roce 1977 popsali šifrovací systém, který se po nich jmenuje RSA. Je dodnes používaný a považován za bezpečný. A celá metoda je založena právě na zbytkových třídách a několika vztazích mezi nimi (čínská věta o zbytcích, malá Fermatova věta). Akorát místo malých čísel 5 a 12, jako jsme tu použili my, se používají prvočísla, a to tak velká, že jen výpis takových čísel by byl další než tento příspěvek.

Šifra se používá pro elektronické podpisy, šifrovaný přenos elektronického bankovnictví, elektronickou poštu, šifrování webových stránek a podobně.

 

Sedm mostů města Královce

Další zajímavý příběh, který Tuček zmínil je o mostech v Královci. Královec nebo-li Kaliningrad, je město ve kterém v 18. století působil jeden z legendárních matematiků Leonhard Euler a ten rád chodil na procházky. V Královci bylo sedm mostů a Euler přemýšlel, jestli může přejít všech sedm mostů tak, aby po každém přešel právě jednou. A nešlo to. Při řešení na papíře problém abstrahoval do tzv. grafu (více najdete pod heslem Teorie grafů, jedná se o trošku jiné grafy než grafy funkcí nebo digramy v infografice).

 

Euler definoval tzv. Eulerovský tah a podle něj lze dokázat, které grafy lze nakreslit jedním tahem a které ne.

 

(Obrázek vlevo nelze nakreslit jedním tahem, obrázek vpravo lze.)

 

Grafy se také zabýval český matematik Otakar Borůvka a v roce 1916 publikoval práci “O jistém problému minimálním”, který popisoval algoritmický postup jak nalézt kostru grafu. Kostra grafu je spojení bodů grafů tak, aby se spojily všechny body a spojnice mezi nimi byla co nejkratší. Tento postup se velmi brzo použil při budování elektrické sítě, kde nacházení nejkratších cest vedlo k úspoře materiálu. Borůvkův algoritmus se používá dodnes v mnoha oblastech lidské činnosti, především v oblasti počítačových sítích, aby data z jednoho počítače doputovala k cílovému počítači za co nejkratší čas.

Fourierova transformace

Další zajímavostí ze světa matematiky, kterou Tuček zmínil, je Fourierova transformace. Pro začátek si představme kolo, klidně od vašeho silničního bicyklu a označme na něm jeden bod. Poté kolo roztočme pravidelnou rychlostí. Pokud bychom zaznamenávali vzdálenost bodu od země do grafu, tak nám vyjde funkce sinus (odkaz na animaci). Jednoduchá, ladná a známá křivka. Tohle pravděpodobně znáte už ze základní školy.

Představme si, že do našeho označeného bodu na kole připevníme osu dalšího kola. Výsledný graf se nám trošku změní.

 

Na obrázku je vidět (odkaz na animaci), jak přidáním několika koleček už výsledný graf nevypadá jako ladná sinusoida, ale zubatá hradba, kde mám jen dvě hodnoty - nahoře, dole - 1, 0. Například v elektronice je velmi často potřeba transformovat signál z jednoho na jiný. Fourierova transformace nám umožňuje nalézt, jak z jedné funkce / signálu / křivky udělat jinou, přesně takovou jakou potřebujeme. Dokonce existují velmi složité soustavy, které dokáží nakreslit i hlavu Homera Simpsona.

Využití této transformace je opravdu široké a pro elektroniky a strojaře je to denní chleba.

Topologie

Na závěr přednášky se Vít Tuček ponořil do problémů topologie. Ukázal zajímavé objekty jako je Möbiova páska a Kleinova láhev. Zmínil, jak můžeme pohlížet na objekty - jejich řezy, obvody, výřezy a můžeme mezi nimi hledat podobnosti. Poté se často stane, že objekty můžeme rozdělit do různých tříd - provést třídění. Uvedl příklad na vyhodnocování výřezů černobílých obrázků. Tato úloha se poté dá aplikovat např. při strojovém rozpoznávání ručně psaných textů, takže velký pomocník při digitalizaci historických materiálů.

Dále zmínil principy perzistetní topologie, např. pokrytí prostoru pomocí prvků s akčním rádiem. Toho se opět používá např. v komunikačních sítích, kdy potřebujeme efektivně pokrýt oblast telefonním signálem apod.

Závěr

Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them.

-- John von Neumann

 

Celou přednášku pak provázely citáty slavných matematiků a bylo vidět, že pro Víta Tučka je matematika opravdu velkou zálibou. Další zajímavosti najdete na jeho školních stránkách.

Zdroj titulního obrázku: http://cz.depositphotos.com/22480263/stock-photo-mathematics-background.....

Fotogalerie

Líbil se vám článek?
Stáhnout článek v PDF

0 komentářů

Přidat komentář

(If you're a human, don't change the following field)
Your first name.
(If you're a human, don't change the following field)
Your first name.

Přečtěte si také

Přihlášení Registrace
RSS Facebook Twitter YouTube
Zobrazit standardní verzi webu

Taky děláme

Feedback